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Le théorème d'impossibilité de Kenneth Arrow

Kenneth Arrow (1921-2017), récompensé pour sa carrière par le "prix Nobel" d’économie en 1972, est l'un des principaux contributeurs à la théorie du choix social. En 1951, il démontre qu'il ne peut pas exister de système de vote qui donne des résultats cohérents si on demande aux électeurs de comparer les candidats. Or, choisir un candidat suppose de comparer les candidats entre eux. Le scrutin uninominal, que nous utilisons, tombe donc sous le coup de ce théorème d'impossibilité. C'est chose préoccupante, car ces incohérences portent à conséquence : les résultats des élections ne suivent pas les opinions des électeurs, et peuvent être manipulés, y compris par les candidats eux-mêmes.

Le paradoxe d'Arrow

Ce paradoxe est une généralisation du paradoxe de Condorcet. Kenneth Arrow constate que, lorsqu'il est demandé aux électeurs de choisir un candidat, les résultats d'une élection peuvent être modifiés par l'introduction ou le retrait d'une candidature, et ce même si le candidat concerné n'a aucune chance de gagner.

Supposons une élections avec trois candidats : Dupont, Duchemin et Dupré. Pour cet exemple, les électeurs se répartiraient en quatre catégories :

  • 5% des électeurs préférant Duchemin à Dupont, et Dupont à Dupré,
  • 34% des électeurs préférant Duchemin à Dupré, et Dupré à Dupont,
  • 32% des électeurs préférant Dupont à Dupré, et Dupré à Duchemin,
  • 29% des électeurs préférant Dupré à Dupont, et Dupont à Duchemin.
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On peut raisonnablement supposer que les électeurs choisissent de voter pour leur candidat préféré (dans le cas contraire, c'est qu'ils ont déjà conscience, ne serait-ce qu'intuitivement, du paradoxe d'Arrow). On constate alors que Dupont obtient 32% des voix, Duchemin 39% ( = 5% + 34%) des voix, et Dupré 29% des voix. C'est donc le candidat Duchemin qui gagne.

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Imaginons alors que le candidat Dupré, pour une raison quelconque, se désiste. Nous aurons dans ce cas, et si les électeurs choisissent toujours leur candidat préféré : 39% des voix pour Duchemin, et 61% ( = 32% + 29%) des voix pour Dupont.

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Dans le cas où Dupré se présente, c'est Duchemin qui l'emporte, et s'il ne se présente pas, c'est Dupont qui l'emporte, haut la main. Le résultat de l'élection dépend donc directement de qui est candidat, sans que les préférences des électeurs aient changé.

Tout un casse tête

Ce constat est particulièrement préoccupant, dans la mesure où il rend possible une complète manipulation des élections. Pour poursuivre avec l'exemple donné, on pourrait tout à fait imaginer les soutiens au candidat Duchemin financer indirectement la campagne du candidat Dupré pour qu'il fasse barrage au candidat Dupont. En réaction, on pourrait imaginer le candidat Dupont négocier quelques avantages pour le candidat Dupré à condition qu'il retire sa candidature, ou mener contre lui une campagne de stigmatisation ou de dénigrement. Les élections deviennent, du fait de ce paradoxe, une affaire de politiques politiciennes, un jeu de candidatures, dans lequel les électeurs n'ont plus leur mot à dire.

Précisons toutefois que l'intention de tricher n'est en rien une condition nécessaire à l'apparition de ce phénomène. Ce sont les "règles du jeu" qui sont un problème, et celles-ci mettent le plus souvent les candidats eux-mêmes en difficulté face à des logiques de "rassemblement" plus ou moins ou imposées.

De la théorie à la pratique

Les cas où l'on peut supposer l'occurrence de ce paradoxe sont nombreux. On peut par exemple penser à l'élection présidentielle de 2000 aux Etats-Unis, où G.-W. Bush et A. Gore se seraient peut-être départagés autrement sans la candidature de R. Nader, ou à l'élection présidentielle de 2002 en France où L. Jospin, gagnant dans les sondages, semble avoir souffert des candidatures de C. Taubira et de J.-P. Chevènement, au point de laisser le champ libre à J.-M. Le Pen.

C'est en tout cas pour les électeurs que ce paradoxe est le plus préjudiciable, puisqu'il est, malheureusement, à l'origine du désormais bien connu "vote utile". Le vote utile n'est en fait rien d'autre qu'une tentative des électeurs pour contrer le paradoxe d'Arrow, en votant de manière stratégique. Au lieu de voter en leur âme et conscience, ils sont contraints de devoir spéculer sur le résultat de l'élection pour essayer d'apporter leur voix, non pas au candidat qu'ils voudraient voir élu, mais pour le candidat "acceptable" qui, leur semble-t'il, aurait le plus de chances de gagner. En somme, faire un pari risqué, en se fiant généralement à des informations pour le moins peu fiables.

En situation de devoir faire un tel pari, les électeurs auraient donc tout intérêt à collaborer pour éviter de se tromper, les conséquences pouvant être dramatiques selon l'élection dont il est question. La confusion devient alors totale puisque le système de vote requiert des électeurs qu'ils sachent prendre une décision collective, alors que le but d'un système de vote est précisément... de permettre une prise de décision collective.

Paradoxal, mais pas fatal

Au delà de ce paradoxe, Kenneth Arrow a établi un théorème reposant sur l'hypothèse selon laquelle, en substance, on souhaiterait, a minima, qu'un système de vote :

  • assure l'égalité entre les électeurs,
  • identifie toujours un gagnant (pas de paradoxe de Condorcet),
  • ne soit pas sensible à l'introduction ou au retrait d'une candidature mineure (pas de paradoxe d'Arrow).

Le théorème d'Arrow se trouve être un théorème d'impossibilité, puisqu'il démontre qu'à partir du moment où l'on demande aux électeurs de choisir un candidat ou d'établir une liste de préférences sur les candidats, il est impossible de mettre en place un système de vote, quel qu'il soit, qui satisfasse les trois hypothèses énoncées.

Ce théorème est d'une grande importance, puisqu'il disqualifie pour ainsi dire tous les systèmes de vote existants, y compris et surtout le scrutin uninominal à un ou deux tours, que nous utilisons pour quasiment toutes les élections.

De ce constat découle malheureusement une incompréhension, ou plutôt une généralisation abusive du théorème d'impossibilité d'Arrow. Il semble qu'il en ait malheureusement été tiré la conclusion hâtive qu'il ne pouvait pas exister de système de vote satisfaisant et que, compte tenu de cela, il était inutile de chercher à remplacer le scrutin uninominal, puisque son remplaçant serait de toutes façons tout aussi peu satisfaisant.

Tirer cette conclusion, c'est omettre de considérer une restriction importante que Kenneth Arrow a pourtant bien apporté à son théorème : il ne s'applique qu'aux systèmes de votes pour lesquels on demande aux électeurs de choisir un candidat ou de les classer par ordre de préférence.

Cette restriction peut sembler évidente une fois rappelée. Il s'est pourtant écoulé plus de 50 ans, et bien plus si l'on remonte aux travaux de Condorcet, avant que deux chercheurs, Michel Balinski et Rida Laraki, ne répondent à Kenneth Arrow par un théorème, de possibilité cette fois, et un système de vote exempt de tous les défauts précités : le jugement majoritaire.

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